Categorías monoidales

Las categorías monoidales son categorías cuyos morfismos pueden tener múltiples entradas y múltiples salidas. Son un concepto fundamental de la teoría de categorías que generaliza a la vez producto y coproducto, y se volvieron especialmente populares en la teoría de categorías aplicada gracias a sus lenguajes gráficos.

Panoramas generales

  • Baez & Stay, 2010: Physics, topology, logic, and computation: a Rosetta stone (doi, arxiv)
    • Introducción encantadora a categorías monoidales y diagramas de cuerdas
    • Describe un lenguaje gráfico especulativo para categorías cerradas (no necesariamente compactas)
    • Sec. 2.3.3, p. 145: referencias sobre procedimientos de decisión para el problema de la palabra en categorías monoidales libres
  • Coecke & Paquette, 2010: Categories for the practicing physicist (doi, arxiv)
    • Otra introducción agradable, a un nivel similar a Baez & Stay
    • Cobertura detallada de la categoría de relaciones
  • Street, 2012: Monoidal categories in, and linking, geometry and algebra (doi, arxiv)
  • Savage, 2019: String diagrams and categorification (arxiv)
    • Sec. 2: introducción corta pero clara a categorías monoidales lineales estrictas y diagramas de cuerdas, incluido el argumento de Eckmann-Hilton
    • Sec. 3: presentación de categorías monoidales por generadores y relaciones, sobre todo con ejemplos: álgebras de grupo de los grupos simétrico y de trenzas, álgebras de Hecke y de producto wreath
    • Sec. 4: categorías monoidales autónomas y pivotales, isotopía de diagramas de cuerdas
    • Sec. 5: el anillo de Grothendieck y la traza como dos formas de decategorificación

Lenguajes gráficos: diagramas de cuerdas

  • Selinger, 2010: A survey of graphical languages for monoidal categories (doi, arxiv)
    • Referencia excelente, más enciclopédica que Baez & Stay — la que conviene consultar cuando el anterior se queda corto
  • Mellies, 2006: Functorial boxes in string diagrams (doi, pdf)
  • Bartlett, 2014: Quasistrict symmetric monoidal 2-categories via wire diagrams (arxiv)
    • Agrega 2-morfismos al lenguaje gráfico
  • Miatto, 2019: Graphical calculus for products and convolutions (arxiv)
    • Diagramas de cuerdas para álgebra de matrices: producto punto, tensorial, Kronecker, Hadamard, Kathri-Rao y Tracy-Singh

Teorías de tipos

  • Jay, 1989: Languages for monoidal categories (doi, pdf)
  • Shulman, 2021: A practical type theory for symmetric monoidal categories (pdf, arxiv)

Para categorías monoidales cartesianas, ver teorías algebraicas; para categorías cartesianas cerradas, ver mónadas y su relación con el cálculo lambda.

Teoremas de completitud

En el sentido de teoría de modelos.

  • Hasegawa, Hofmann, Plotkin, 2008: Finite dimensional vector spaces are complete for traced symmetric monoidal categories (doi)
  • Selinger, 2011: Finite dimensional Hilbert spaces are complete for dagger compact closed categories (doi, arxiv)
  • Kissinger, 2015: Finite matrices are complete for (dagger-)hypergraph categories (arxiv)
    • Las categorías de hipergrafo también se conocen como “spidered / dungeon categories”