Mónadas

Las mónadas codifican representaciones sintácticas de estructura algebraica. Además, han alcanzado un estatus casi de culto en parte de la comunidad de teoría de lenguajes de programación por su capacidad de codificar computación con estado en lenguajes puramente funcionales como Haskell.

Notoriamente, una mónada sobre una categoría \(C\) es un monoide en la categoría monoidal de endofuntores de \(C\) — una buena forma de recordar la definición, aunque suene circular al principio.

Teoría general

Las mónadas aparecen en la mayoría de los libros de texto de teoría de categorías:

  • Borceux, 1994: Handbook of Categorical Algebra, Vol. 2, Cap. 4: Monads
  • Awodey, 2010: Category Theory, 2ª ed., Cap. 10: Monads and algebras
  • Riehl, 2016: Category Theory in Context, Cap. 5: Monads and their algebras
    • Lista particularmente útil de ejemplos de matemáticas y ciencias de la computación
  • Jacobs, 2017: Introduction to Coalgebra, Cap. 5: Monads, comonads, and distributive laws (doi)

Álgebra universal

Buena parte del interés matemático en las mónadas viene de su conexión con el álgebra universal.

  • Baez, 2006, notas de curso: Universal algebra and diagrammatic reasoning (slides)
    • Enlaces a más material en el sitio complementario
  • Voutas, 2012, notas expositivas: The basic theory of monads and their connection to universal algebra (pdf)

En particular, las teorías de Lawvere y las mónadas finitarias son equivalentes — un resultado que suele atribuirse a Linton.

  • Hyland & Power, 2007: The category theoretic understanding of universal algebra: Lawvere theories and monads (doi)
    • Contrasta las dos formulaciones categóricas de álgebra universal: teorías de Lawvere versus mónadas
    • Behrisch, Kerkhoff, Power, 2012, ampliación con comonads y teorías duales (doi)
  • Garner, 2014: Lawvere theories, finitary monads and Cauchy-completion (doi, arxiv)
    • Analiza la correspondencia mónada-teoría desde categorías enriquecidas en endofuntores finitarios
  • Brandenburg, 2021: Large limit sketches and topological space objects (arxiv)
    • El apéndice A trae una prueba autocontenida y accesible de la equivalencia entre teorías de Lawvere infinitarias y mónadas
    • También sirve como buen resumen de la literatura sobre el tema

Mónadas especiales y aplicaciones

Mónadas de probabilidad: para la mónada de Giry y otras mónadas de probabilidad, ver probabilidad categórica.